Flöde och cirkulation av ett vektorfält

NBased på Richard Feynmans föreläsningsmaterial

När vi beskriver elektricitetens lagar i termer av vektorfält står vi inför två matematiskt viktiga egenskaper hos vektorfältet: flöde och cirkulation. Det skulle vara trevligt att förstå vad dessa matematiska begrepp är och vad deras praktiska innebörd är.

Den andra delen av frågan är lätt att besvara direkt eftersom begreppen flöde och cirkulation är kärnan i Maxwells ekvationer, på vilken all modern elektrodynamik faktiskt vilar.

Så till exempel kan lagen för elektromagnetisk induktion formuleras på följande sätt: cirkulationen av det elektriska fältet E längs en sluten slinga C är lika med förändringshastigheten för flödet av magnetfältet B genom ytan S som begränsas av detta slinga B.

I det följande kommer vi helt enkelt att beskriva, med hjälp av tydliga flytande exempel, hur fältkarakteristika bestäms matematiskt, varifrån dessa fältkarakteristika tas och erhålls.

Vector fältflöde

Till att börja med, låt oss rita en viss sluten yta av helt godtycklig form runt området som studeras. Efter att ha avbildat denna yta frågar vi om studieobjektet, som vi kallar ett fält, flyter genom denna slutna yta. För att förstå vad det här handlar om, överväg ett enkelt flytande exempel.

Låt oss säga att vi undersöker hastighetsfältet för en viss vätska. För ett sådant exempel är det vettigt att fråga: passerar mer vätska genom denna yta per tidsenhet än vad som strömmar in i volymen som begränsas av denna yta? Med andra ord, riktas utflödeshastigheten alltid i första hand inifrån och ut?

Med uttrycket "vektorfältsflöde" (och för vårt exempel kommer uttrycket "vätskehastighetsflöde" att vara mer exakt), kommer vi överens om att namnge den totala mängden imaginär vätska som strömmar genom ytan av den betraktade volymen avgränsad av en given stängd yta (för vätskeflödet, hur mycket vätska som följer av volymen per tidsenhet).

Som ett resultat kommer flödet genom ytelementet att vara lika med produkten av ytelementets yta med den vinkelräta komponenten av hastigheten. Då blir det totala (totala) flödet över hela ytan lika med produkten av den genomsnittliga normalkomponenten av hastigheten, som vi kommer att räkna inifrån och ut, med den totala ytarean.

Nu tillbaka till det elektriska fältet. Det elektriska fältet kan naturligtvis inte betraktas som hastigheten för flödet av någon vätska, men vi har rätt att introducera ett matematiskt koncept för flödet, liknande det vi ovan beskrev som flödet av vätskans hastighet.

Endast i fallet med ett elektriskt fält kan dess flöde bestämmas av den genomsnittliga normalkomponenten av den elektriska fältstyrkan E. Dessutom kan det elektriska fältets flöde bestämmas inte nödvändigtvis genom en sluten yta, utan genom vilken avgränsad yta som helst. av icke-noll area S .

Cirkulation av ett vektorfält

Det är välkänt för alla, att för större klarhet kan fält avbildas i form av s. k. kraftlinjer, vid hvarje punkt där tangentens riktning sammanfaller med fältstyrkans riktning.

Låt oss gå tillbaka till vätskeanalogin och föreställa oss vätskans hastighetsfält Låt oss ställa oss en fråga: cirkulerar vätskan? Det vill säga rör den sig främst i riktning mot någon tänkt sluten slinga?

För större klarhet kan du föreställa dig att vätskan i en stor behållare på något sätt rör sig (Fig. A) och vi frös plötsligt nästan hela dess volym, men lyckades lämna volymen ofrusen i form av ett enhetligt stängt rör där det inte finns någon friktion av vätskan på väggarna (fig. b).

Utanför detta rör har vätskan förvandlats till is och kan därför inte längre röra sig, men inuti röret kan vätskan fortsätta sin rörelse, förutsatt att det finns ett rådande momentum som driver den till exempel medurs (fig. .°C). Då kommer produkten av vätskehastigheten i röret och längden på röret att kallas vätskehastighetscirkulationen.

På liknande sätt kan vi definiera en cirkulation för ett vektorfält, även om fältet återigen inte kan sägas vara hastigheten för någonting, vi kan ändå definiera den matematiska egenskapen för "cirkulation" längs en kontur.

Så, cirkulationen av ett vektorfält längs en imaginär sluten slinga kan definieras som produkten av den genomsnittliga tangentiella komponenten av vektorn i riktningen för slingans passage - av slingans längd.