Maxwells ekvationer för ett elektromagnetiskt fält — elektrodynamikens grundläggande lagar
Systemet med Maxwells ekvationer har sitt namn och utseende att tacka James Clerk Maxwell, som formulerade och skrev dessa ekvationer i slutet av 1800-talet.
Maxwell James Clark (1831 - 1879) är en berömd brittisk fysiker och matematiker, professor vid University of Cambridge i England.
Han kombinerade praktiskt taget i sina ekvationer alla experimentella resultat som erhölls vid den tiden på elektricitet och magnetism, och gav elektromagnetismens lagar en tydlig matematisk form. Elektrodynamikens grundläggande lagar (Maxwells ekvationer) formulerades 1873.
Maxwell utvecklade Faradays doktrin om det elektromagnetiska fältet till en sammanhängande matematisk teori, från vilken följer möjligheten till vågutbredning av elektromagnetiska processer. Det visade sig att utbredningshastigheten för elektromagnetiska processer är lika med ljusets hastighet (vars värde redan var känt från experiment).
Denna tillfällighet fungerade som grunden för Maxwell att uttrycka idén om den gemensamma naturen hos elektromagnetiska fenomen och ljusfenomen, dvs. om ljusets elektromagnetiska natur.
Teorin om elektromagnetiska fenomen, skapad av James Maxwell, fann sin första bekräftelse i experimenten av Hertz, som först fick elektromagnetiska vågor.
Som ett resultat spelade dessa ekvationer en viktig roll i bildandet av exakta representationer av klassisk elektrodynamik. Maxwells ekvationer kan skrivas i differential- eller integralform. I praktiken beskriver de på matematikens torra språk det elektromagnetiska fältet och dess relation till elektriska laddningar och strömmar i vakuum och i kontinuerliga medier. Till dessa ekvationer kan du lägga till uttryck för Lorentz-styrkan, i så fall får vi ett komplett ekvationssystem för klassisk elektrodynamik.
För att förstå några av de matematiska symbolerna som används i differentialformerna av Maxwells ekvationer, låt oss först definiera en så intressant sak som nabla-operatorn.
Nabla-operatör (eller Hamilton-operatör) Är en vektordifferentialoperator vars komponenter är partiella derivator med avseende på koordinaterna. För vårt verkliga utrymme, som är tredimensionellt, är ett rektangulärt koordinatsystem lämpligt, för vilket operatören nabla definieras enligt följande:
där i, j och k är enhetskoordinatvektorer
Nabla-operatorn, när den appliceras på ett fält på något matematiskt sätt, ger tre möjliga kombinationer. Dessa kombinationer kallas:
Lutning — en vektor, vars riktning anger riktningen för den största ökningen av en viss kvantitet, vars värde varierar från en punkt i rymden till en annan (skalärt fält), och i storlek (modul) är lika med tillväxthastigheten för denna kvantitet i denna riktning.
Divergens (divergens) — en differentialoperator som mappar ett vektorfält till en skalär (det vill säga som ett resultat av att tillämpa differentieringsoperationen på ett vektorfält, erhålls ett skalärt fält), som bestämmer (för varje punkt) "hur mycket fältet kommer in och lämnar ett litet område av en given punkt avviker ”, närmare bestämt hur olika inflöden och utflöden är.
Rotor (virvel, rotation) är en vektordifferentialoperator över ett vektorfält.
Tänk nu rätt Maxwells ekvationer i integral (vänster) och differential (höger) formsom innehåller de grundläggande lagarna för elektriska och magnetiska fält, inklusive elektromagnetisk induktion.
Integralform: cirkulationen av den elektriska fältstyrkevektorn längs en godtycklig sluten slinga är direkt proportionell mot förändringshastigheten för det magnetiska flödet genom området som begränsas av denna slinga.
Differentialform: varje förändring i magnetfältet producerar ett elektriskt virvelfält som är proportionellt mot förändringshastigheten för magnetfältsinduktionen.
Fysisk betydelse: varje förändring i magnetfältet över tiden orsakar uppkomsten av ett elektriskt virvelfält.
Integralform: magnetfältets induktionsflöde genom en godtyckligt sluten yta är noll. Det betyder att det inte finns några magnetiska laddningar i naturen.
Differentialform: flödet av fältlinjer för induktion av ett magnetfält med oändlig elementär volym är lika med noll, eftersom fältet är virvel.
Fysisk betydelse: i naturen finns inga källor till magnetfält i form av magnetiska laddningar.
Integralform: cirkulationen av magnetfältstyrkevektorn längs en godtycklig sluten slinga är direkt proportionell mot den totala strömmen som passerar ytan som täcks av denna slinga.
Differentialform: Ett virvelmagnetiskt fält existerar runt vilken strömförande ledare som helst och runt alla elektriska växelfält.
Fysisk betydelse: flödet av ledande ström genom ledningar och förändringarna i det elektriska fältet med tiden leder till uppkomsten av ett virvelmagnetfält.
Integral form: flödet av den elektrostatiska induktionsvektorn genom en godtyckligt sluten yta som omsluter laddningarna är direkt proportionell mot den totala laddningen som finns inuti den ytan.
Differentialform: flödet av induktionsvektorn för det elektrostatiska fältet från en oändlig elementär volym är direkt proportionell mot den totala laddningen i den volymen.
Fysisk betydelse: källan till det elektriska fältet är en elektrisk laddning.
Systemet med dessa ekvationer kan kompletteras med ett system av så kallade materialekvationer som kännetecknar egenskaperna hos materialmediet som fyller utrymmet:
