Grunderna och lagarna i logikens algebra
Irländsk matematiker från mitten av 1800-talet George Bull utvecklade logikens algebra ("Studie av tänkandets lagar"). Därför kallas även logikens algebra boolesk algebra.
Genom att ge bokstavsbeteckningar, uttrycka operationerna för logiska transformationer i handlingssymboler och använda reglerna och axiomen som fastställts för dessa åtgärder, tillåter logikens algebra att resonemangsprocessen för att lösa ett problem som ges i termer av påståendelogik kan beskrivas fullständigt i algoritmer , det vill säga att ha ett matematiskt skrivet program som löser detta problem.
För att beteckna sanningen eller falskheten i påståenden (det vill säga att införa värden för att utvärdera påståenden), använder logikens algebra ett binärt system, bekvämt i detta fall. Om påståendet är sant tar det värdet 1, om det är falskt tar det värdet 0. Till skillnad från binära tal uttrycker logiska 1:or och 0:or inte en kvantitet, utan ett tillstånd.
Så i elektriska kretsar som beskrivs med boolesk algebra, där 1 är närvaron av spänning och 0 är dess frånvaro, är tillförseln av spänningar från flera källor till en nod i kretsen (det vill säga ankomsten av flera logiska enheter av den) visas också som en logisk enhet som inte indikerar den totala spänningen vid noden, utan bara dess närvaro.
Vid beskrivning av logikkretsarnas in- och utsignaler används variabler som endast tar värdet på logisk 0 eller 1. Beroendet av utsignalerna på ingången bestäms logisk operation (funktion)… Låt oss beteckna ingångsvariablerna med X1 och X2, och utdata som erhålls genom en logisk operation på dem med y.
Fundera på det tre grundläggande elementära logiska operationer, med vars hjälp allt mer komplexa kan beskrivas.
1. ELLER-operation — logisk addition:
Med tanke på alla möjliga värden för variablerna kan man definiera ELLER-operationen som tillräckligheten av minst en enhet i ingången för att producera en i utdata. Namnet på operationen förklaras av den semantiska betydelsen av föreningen OR i frasen: «Om OR är en ingång ELLER den andra är en, då är utmatningen en.»
2. Operation OCH — logisk multiplikation:
Från att betrakta hela uppsättningen värden för variablerna, definieras AND-operationen som behovet av att matcha alla de på ingångarna för att få en etta på utgången: "Om AND är en ingång och den andra är ettor, då utgången är en. «
3. Operation NOT — logisk negation eller inversion. Det indikeras med en stapel ovanför variabeln.
När den vänds, vänds värdet på variabeln.
Grundläggande lagar för logisk algebra:
1. Nolluppsättningens lag: produkten av ett valfritt antal variabler försvinner om någon av variablerna är noll, oavsett värden för andra variabler:
2. Den universella uppsättningens lag — summan av ett valfritt antal variabler blir en om minst en av variablerna har värdet ett, oavsett andra variabler:
3. Lagen om upprepning — upprepade variabler i uttrycket kan utelämnas (med andra ord, det finns ingen exponentiering och multiplikation med en numerisk koefficient i boolesk algebra):
4. Lagen om dubbel inversion — den inversion som utförs två gånger är en tom operation:
5. Komplementaritetens lag — produkten av varje variabel och dess invers är noll:
6. Summan av varje variabel och dess reciproka är en:
7. Skyddslagar — Resultatet av att utföra multiplikations- och additionsoperationer beror inte på i vilken ordning variablerna följer:
8. Kombinerade lagar — under multiplikations- och additionsoperationer kan variabler grupperas i valfri ordning:
9. Distributionslagar — Det är tillåtet att sätta den totala koefficienten utanför parentesen:
10. Absorptionens lagar — ange sätt att förenkla uttryck som involverar en variabel i alla faktorer och termer:
11. De Morgans lagar — inversionen av produkten är summan av inversionerna av variablerna:
inversionen av summan är produkten av inversionerna av variablerna:
