Biot-Savart-lagen och satsen för den magnetiska induktionsvektorns cirkulation

År 1820 fastställde de franska forskarna Jean-Baptiste Biot och Félix Savard, under gemensamma experiment för att studera magnetfälten för likströmmar, otvetydigt att den magnetiska induktionen av en likström som flyter genom en ledare kan anses vara resultatet av allmän verkan av alla sektioner av denna tråd med ström. Det betyder att magnetfältet lyder superpositionsprincipen (principen för superposition av fält).

Det magnetiska fältet som skapas av en grupp DC-ledningar har följande magnetisk induktionatt dess värde definieras som vektorsumman av de magnetiska induktioner som skapas av varje ledare separat. Det vill säga att induktionen B av likströmsledaren kan representeras rättvist av vektorsumman av de elementära induktionerna dB som hör till de elementära sektionerna dl av den betraktade likströmsledaren I.

Det är praktiskt taget orealistiskt att isolera en elementär sektion av en likströmsledare, eftersom D.C. alltid stängd.Men du kan mäta den totala magnetiska induktionen som skapas av en tråd, det vill säga genererad av alla elementära delar av en given tråd.

Således tillåter Biot-Sovars lag att du kan hitta värdet på den magnetiska induktionen B av sektionen (känd längd dl) av ledaren, med en given likström I, på ett visst avstånd r från denna sektion av ledaren och i en viss observationsriktning från den valda sektionen (inställd genom sinus för vinkeln mellan strömriktningen och riktningen från sektionen av ledaren till den undersökta punkten i utrymmet nära ledaren):

Det fastställdes experimentellt att riktningen för den magnetiska induktionsvektorn lätt bestäms av den högra skruven eller kardanregeln: om riktningen för translationsrörelsen för kardan under dess rotation sammanfaller med riktningen för likström I i tråden, då kardanhandtagets rotationsriktning bestämmer riktningen för den magnetiska induktionsvektorn B som produceras av en given ström.

Magnetfältet för en rak strömförande tråd, såväl som en illustration av tillämpningen av Bio-Savarts lag på den, visas i figuren:

Så om vi integrerar, det vill säga lägger till bidraget från var och en av de små sektionerna av en konstant strömledare till det totala magnetfältet, får vi en formel för att hitta den magnetiska induktionen av en strömledare vid en viss radie R från den .

På samma sätt, med hjälp av Bio-Savards lag, kan du beräkna de magnetiska induktionerna från likströmmar av olika konfigurationer och vid vissa punkter i rymden, till exempel hittas den magnetiska induktionen i mitten av en cirkulär krets med en ström av följande formel:

Riktningen för den magnetiska induktionsvektorn är lätt att hitta enligt kardanregeln, bara nu måste kardanen roteras i den slutna strömmens riktning, och kardans framåtrörelse kommer att visa riktningen för den magnetiska induktionsvektorn.

Ofta kan beräkningar med avseende på magnetfältet förenklas om vi tar hänsyn till symmetrin i konfigurationen av strömmar som ges av det genererande fältet. Här kan du använda satsen för den magnetiska induktionsvektorns cirkulation (som Gauss sats i elektrostatik). Vad är "cirkulationen av den magnetiska induktionsvektorn"?

Låt oss välja i rymden en viss sluten slinga av godtycklig form och villkorligt indikera den positiva riktningen för dess färd. För varje punkt i denna slinga kan du hitta projektionen av den magnetiska induktionsvektorn B på tangenten till slingan vid den punkten. Då är summan av produkterna av dessa kvantiteter med de elementära längderna av alla sektioner av konturen cirkulationen av den magnetiska induktionsvektorn B längs denna kontur:

Praktiskt taget alla strömmar som skapar ett generellt magnetfält här kan antingen penetrera den aktuella kretsen, eller så kan några av dem vara utanför den. Enligt cirkulationssatsen: cirkulationen av den magnetiska induktionsvektorn B av likströmmar i en sluten slinga är numeriskt lika med produkten av magnetkonstanten mu0 med summan av alla likströmmar som penetrerar slingan. Detta teorem formulerades av Andre Marie Ampere 1826:

Betrakta figuren ovan. Här tränger strömmarna I1 och I2 in i kretsen, men de är riktade i olika riktningar, vilket innebär att de har villkorligt olika tecken.Det positiva tecknet kommer att ha en ström vars riktning av magnetisk induktion (enligt grundregeln) sammanfaller med riktningen för bypass för den valda kretsen. För denna situation tar cirkulationssatsen formen:

Generellt sett följer satsen för cirkulationen av den magnetiska induktionsvektorn B från magnetfältsöverlagringsprincipen och Biot-Savard-lagen.

Till exempel härleder vi formeln för magnetisk induktion av en likströmsledare. Låt oss välja en kontur i form av en cirkel, genom vars centrum denna tråd passerar, och tråden är vinkelrät mot konturens plan.

Cirkelns centrum ligger alltså direkt i mitten av ledaren, det vill säga i ledaren. Eftersom bilden är symmetrisk är vektorn B tangentiellt riktad mot cirkeln, och dess projektion på tangenten är därför densamma överallt och är lika med längden på vektorn B. Cirkulationssatsen skrivs så här:

Därför följer formeln för magnetisk induktion av en rak ledare med likström (denna formel har redan givits ovan). På liknande sätt kan man med hjälp av cirkulationssatsen enkelt hitta de magnetiska induktionerna av symmetriska DC-konfigurationer där bilden av fältlinjerna är lätt att visualisera.

Ett av de praktiskt viktiga exemplen på tillämpningen av cirkulationssatsen är att hitta magnetfältet inuti en toroidformad induktor.

Antag att det finns en ringformad spole lindad runt-till-rund på en munkformad kartongram med antalet varv N. I denna konfiguration är de magnetiska induktionslinjerna inneslutna inuti munken och är koncentriska (inom varandra) cirklar i form .

Om man tittar i den magnetiska induktionsvektorns riktning längs munkens inre axel, visar det sig att strömmen riktas överallt medsols (enligt kardanregeln). Betrakta en av linjerna (visas i rött) av magnetisk induktion inuti spolen och välj den som en cirkulär slinga med radien r. Då skrivs cirkulationssatsen för en given krets så här:

Och den magnetiska induktionen av fältet inuti spolen kommer att vara lika med:

För en tunn toroidformad spole, där magnetfältet är nästan enhetligt över hela sitt tvärsnitt, är det möjligt att skriva uttrycket för den magnetiska induktionen som för en oändligt lång solenoid, med hänsyn tagen till antalet varv per längdenhet — n :

Betrakta nu en oändligt lång solenoid där magnetfältet är helt inuti. Vi tillämpar cirkulationssatsen på den valda rektangulära konturen.

Här kommer den magnetiska induktionsvektorn att ge en projektion som inte är noll endast på sida 2 (dess längd är lika med L). Med hjälp av parametern n — «antal varv per längdenhet» får vi en sådan form av cirkulationssatsen, som slutligen reduceras till samma form som för en multitonCoy toroidspole: