En symbolisk metod för att beräkna AC-kretsar

En symbolisk metod för operationer med vektorkvantiteter är baserad på en mycket enkel idé: varje vektor är uppdelad i två komponenter: en horisontell, som passerar längs abskissan, och den andra, vertikal, passerar längs ordinatan. I detta fall följer alla horisontella komponenter en rät linje och kan adderas genom enkel algebraisk addition, och de vertikala komponenterna läggs till på samma sätt.

Detta tillvägagångssätt resulterar i allmänhet i två resulterande komponenter, en horisontell och en vertikal, som alltid ligger intill varandra i samma 90° vinkel.

Dessa komponenter kan användas för att hitta resultatet, det vill säga för geometrisk addition. De rätvinkliga komponenterna representerar benen i en rätvinklig triangel, och deras geometriska summa representerar hypotenusan.

Man kan också säga att den geometriska summan är numeriskt lika med diagonalen för ett parallellogram byggt på komponenterna såväl som på dess sidor... Om den horisontella komponenten betecknas med AG och den vertikala komponenten med AB, så är den geometriska summan ( 1)

Att hitta den geometriska summan av räta trianglar är mycket lättare än sneda trianglar. Det är lätt att se att (2)

blir (1) om vinkeln mellan komponenterna är 90°. Eftersom cos 90 = 0 försvinner den sista termen i det radikala uttrycket (2), vilket gör att uttrycket förenklas kraftigt. Observera att ett av tre ord måste läggas till före ordet "summa": "arithmetic", "algebraic", "geometric".

Fikon. 1.

Ordet "belopp" utan att specificera vilket leder till osäkerhet och i vissa fall till grova fel.

Kom ihåg att den resulterande vektorn är lika med den aritmetiska summan av vektorerna i det fall då alla vektorer går längs en rät linje (eller parallellt med varandra) i samma riktning. Dessutom har alla vektorer ett plustecken (Fig. 1, a).

Om vektorerna går längs en rät linje men pekar i motsatta riktningar, så är deras resultat lika med den algebraiska summan av vektorer, i vilket fall vissa termer har ett plustecken och andra har ett minustecken.

Till exempel, i diagrammet i fig. 1, b U6 = U4 — U5. Vi kan också säga att den aritmetiska summan används i de fall där vinkeln mellan vektorerna är noll, algebraisk när vinklarna är 0 och 180°. I alla andra fall utförs additionen vektoriellt, det vill säga den geometriska summan bestäms (fig. 1, c).

Exempel... Bestäm parametrarna för den ekvivalenta sinusvågen för kretsen Fig. 2, men symboliskt.

Svar. Låt oss rita vektorer Um1 Um2 och dekomponera dem i komponenter. Det kan ses från ritningen att varje horisontell komponent är vektorvärdet multiplicerat med cosinus för fasvinkeln, och vertikalen är vektorvärdet multiplicerat med sinus för fasvinkeln. Sedan

Fikon. 2.

Uppenbarligen är de totala horisontella och vertikala komponenterna lika med de algebraiska summorna av motsvarande komponenter. Sedan

De resulterande komponenterna visas i fig. 2, b. Bestäm värdet på Um för detta, beräkna den geometriska summan av de två komponenterna:

Bestäm den ekvivalenta fasvinkeln ψeq. Fikon. 2, b, kan det ses att förhållandet mellan den vertikala och den horisontella komponenten är tangenten för den ekvivalenta fasvinkeln.

var

Den sålunda erhållna sinusformen har en amplitud på 22,4 V, en initial fas på 33,5° med samma period som komponenterna. Observera att endast sinusvågor av samma frekvens kan läggas till, eftersom när man lägger till sinuskurvor med olika frekvenser slutar den resulterande kurvan att vara sinus och alla begrepp som endast är tillämpliga på övertonssignaler blir ogiltiga i detta fall.

Låt oss återigen följa hela kedjan av transformationer som måste göras med de matematiska beskrivningarna av övertonsvågformerna när vi utför olika beräkningar.

Först ersätts de tidsmässiga funktionerna med vektorbilder, sedan sönderdelas varje vektor i två ömsesidigt vinkelräta komponenter, sedan beräknas de horisontella och vertikala komponenterna separat, och slutligen bestäms värdena för den resulterande vektorn och dess initiala fas.

Denna beräkningsmetod eliminerar behovet av att grafiskt addera (och i vissa fall utföra mer komplexa operationer, till exempel multiplicera, dividera, extrahera rötter etc.) sinusformade kurvor och tillgripa beräkningar med formlerna för sneda trianglar.

Det är dock ganska besvärligt att beräkna de horisontella och vertikala komponenterna för operationen separat.I sådana beräkningar är det mycket bekvämt att ha en sådan matematisk apparat med vilken du kan beräkna båda komponenterna samtidigt.

Redan i slutet av förra seklet utvecklades en metod som möjliggör samtidiga beräkningar av tal ritade på inbördes vinkelräta axlar. Siffrorna på den horisontella axeln kallades reella, och talen på den vertikala axeln kallades imaginära. Vid beräkning av dessa tal läggs en faktor på ± 1 till de reella talen och ± j till de imaginära talen (läs "xi"). Tal som består av verkliga och imaginära delar kallas komplex, och metoden för beräkningar som utförs med deras hjälp är symbolisk.

Låt oss förklara termen "symbolisk". Funktionerna som ska beräknas (övertoner i detta fall) är original, och de uttryck som ersätter originalen är bilder eller symboler.

När du använder den symboliska metoden utförs alla beräkningar inte på själva originalen, utan på deras symboler (bilder), som i vårt fall representerar motsvarande komplexa tal, eftersom det är mycket lättare att utföra operationer på bilder än på själva originalen.

När alla bildoperationer har slutförts, registreras originalet som motsvarar den resulterande bilden på den resulterande bilden. De flesta av beräkningarna i elektriska kretsar görs med den symboliska metoden.