Varför komplexa tal används för beräkningar i AC-kretsar

Som ni vet används komplexa tal för att lösa några typiska problem inom elektroteknik. Men vad används de till och varför görs det på det här sättet? Detta är vad vi kommer att försöka förstå under den här artikeln. Faktum är att den komplexa metoden eller metoden för komplexa amplituder är bekväm för att beräkna komplexa AC-kretsar. Och till att börja med, låt oss komma ihåg några grunder i matematik:

Som du kan se inkluderar det komplexa talet z den imaginära delen och den reella delen, som skiljer sig från varandra och betecknas olika i texten. Själva det komplexa talet z kan skrivas i algebraisk, trigonometrisk eller exponentiell form:

Historisk bakgrund

Man tror att idén om imaginära siffror började 1545, när den italienske matematikern, ingenjören, filosofen, läkaren och astrologen Girolamo Cardano publicerade denna metod för att lösa ekvationer i sin avhandling "Den stora konsten", där, enligt bl.a. , medgav han att Niccolò hade gett honom idén till Tartaglia (en italiensk matematiker) 6 år före publiceringen av detta arbete. I sitt arbete löser Kradano ekvationer av formen:

I processen att lösa dessa ekvationer tvingades forskaren erkänna förekomsten av något "overkligt" tal, vars kvadrat kommer att vara lika med minus en "-1", det vill säga som om det finns en kvadratrot av en negativt tal, och om det nu är kvadratiskt, kommer det att visa sig vara motsvarande negativa tal under roten. Cardano angav multiplikationsregeln, enligt vilken:

Under tre århundraden var det matematiska samfundet i färd med att vänja sig vid det nya tillvägagångssätt som föreslagits av Cardano. Imaginära siffror slår gradvis rot, men matematiker är ovilliga att acceptera. Det var inte förrän vid publiceringen av Gauss verk om algebra, där han bevisade algebras grundläggande sats, som komplexa tal äntligen accepterades fullt ut, 1800-talet var nära.

Imaginära siffror blev en riktig livräddare för matematiker eftersom de mest komplexa problemen blev mycket lättare att lösa genom att acceptera förekomsten av imaginära siffror.

Så snart kom det till elektroteknik. AC-kretsar var ibland mycket komplexa och många integraler måste beräknas för att beräkna dem, vilket ofta var mycket obekvämt.

Slutligen, 1893, talade den briljante elektroingenjören Carl August Steinmetz i Chicago vid den internationella elektrotekniska kongressen med en rapport "Complex numbers and their application in electrical engineering", som faktiskt markerade början på ingenjörernas praktiska tillämpning av den komplexa metoden för beräkning av elektriska kretsar för växelström.

Det vet vi från fysikkursen växelström — detta är en ström som förändras över tiden i både storlek och riktning.

Inom tekniken finns det olika former av växelström, men den vanligaste idag är sinusformad växelström, det är den som används överallt, med vars hjälp el överförs, i form av växelström, som genereras, omvandlas av transformatorer och förbrukas av laster. En sinusformad ström ändras periodiskt enligt en sinusformad (harmonisk) lag.

De effektiva värdena för strömmen och spänningen är mindre än amplitudvärdena för roten av två gånger:

I den komplexa metoden skrivs de effektiva värdena för strömmar och spänningar enligt följande:

Observera att inom elektroteknik betecknas den imaginära enheten med bokstaven «j», eftersom bokstaven «i» redan används här för att beteckna ström.

Från Ohms lag bestämmer det komplexa värdet av motståndet:

Addition och subtraktion av komplexa värden görs i algebraisk form och multiplikation och division i exponentiell form.

Låt oss överväga metoden för komplexa amplituder med exemplet på en specifik krets med vissa värden på huvudparametrarna.

Ett exempel på att lösa ett problem med hjälp av komplexa tal

Given:

• spolespänning 50 V,

• motståndsmotstånd 25 Ohm,

• spoleinduktans 500 mH,

• kondensatorns elektriska kapacitet är 30 mikrofarad,

• spolmotstånd 10 Ohm,

• nätfrekvens 50 Hz.

Hitta: amperemeter och voltmeteravläsningar samt wattmeter.

Svar:

Till att börja med skriver vi ner det komplexa motståndet för seriekopplade element, som består av reella och imaginära delar, sedan hittar vi det komplexa motståndet för ett aktivt-induktivt element.

Kommer ihåg! För att få exponentialformen, hitta modulen z lika med kvadratroten av summan av kvadraterna av de reella och imaginära delarna, och phi lika med arctangensen för kvoten av den imaginära delen dividerat med den reella delen.

Sedan hittar vi strömmen och följaktligen avläsningarna av amperemetern:

Så amperemetern visar en ström på 0,317 A - det är strömmen genom hela seriekretsen.

Nu kommer vi att hitta kondensatorns kapacitiva motstånd, då kommer vi att bestämma dess komplexa motstånd:

Vi beräknar sedan den totala komplexa impedansen för denna krets:

Nu hittar vi den effektiva spänningen som appliceras på kretsen:

Voltmetern kommer att visa en effektiv spänning på 19,5 volt.

Slutligen hittar vi effekten som wattmätaren kommer att visa, med hänsyn tagen till fasskillnaden mellan ström och spänning

Wattmätaren kommer att visa 3,51 watt.

Nu förstår du hur viktiga komplexa tal är inom elektroteknik. De används för bekväm beräkning av elektriska kretsar. Många elektroniska mätapparater fungerar på samma grund.