Lagar för kontaktkrets algebra, boolesk algebra

En analytisk registrering av strukturen och driftsförhållandena för reläkretsar gör det möjligt att utföra analytiska ekvivalenta transformationer av kretsar, det vill säga genom att transformera strukturformler, hitta scheman som liknar deras funktion. Konverteringsmetoder är särskilt fullt utvecklade för strukturformler som uttrycker kontaktkretsar.

För kontaktkretsar används den matematiska apparaten i logikens algebra, närmare bestämt en av dess enklaste varianter, kallad propositionskalkyl eller boolesk algebra (efter matematikern från förra århundradet J. Boole).

Propositionskalkylen utvecklades ursprungligen för att studera beroendet (sanningen eller falskheten i komplexa bedömningar av sanningen eller falskheten i de enkla påståendena som utgör dem. I huvudsak är propositionskalkylen en algebra av två tal, det vill säga en algebra i där varje enskilt argument och varje funktion kan ha ett av två värden.

Detta bestämmer möjligheten att använda boolesk algebra för att transformera kontaktkretsar, eftersom vart och ett av argumenten (kontakter) som ingår i strukturformeln bara kan ta två värden, det vill säga den kan vara stängd eller öppen, och hela funktionen representeras av strukturformeln formeln kan uttrycka antingen en sluten eller en öppen slinga.

Boolesk algebra introducerar:

1) objekt som, som i vanlig algebra, har namn: oberoende variabler och funktioner — men till skillnad från vanlig algebra, kan båda i boolesk algebra bara ha två värden: 0 och 1;

2) grundläggande logiska operationer:

• logisk addition (eller disjunktion, logisk ELLER, betecknad med tecknet ?), som definieras enligt följande: resultatet av operationen är 0 om och endast om alla argument för operationen är lika med 0, annars blir resultatet 1;

• logisk multiplikation (eller sammanlänkning, logisk OCH, betecknad med ?, eller inte specificerad alls) som definieras enligt följande: resultatet av operationen är 1 om och endast om alla argument för operationen är lika med 1, annars resultatet är 0;

• negation (eller vice versa, logisk NOT, indikerad med en stapel ovanför argumentet), som definieras enligt följande: resultatet av operationen har motsatt värde av argumentet;

3) axiom (lagar för boolesk algebra), som definierar reglerna för att transformera logiska uttryck.

Observera att var och en av de logiska operationerna kan utföras både på variabler och på funktioner, som kommer att kallas booleska funktioner nedan... Kom ihåg att, i analogi med vanlig algebra, i boolesk algebra, har operationen av logisk multiplikation företräde framför den logiska tilläggsoperation.

Booleska uttryck bildas genom att kombinera logiska operationer på ett antal objekt (variabler eller funktioner), som kallas operationens argument.

Omvandlingen av logiska uttryck med hjälp av boolesk algebras lagar utförs vanligtvis med syftet att minimera, eftersom ju enklare uttrycket är, desto mindre komplexitet är den logiska kedjan, som är den tekniska implementeringen av det logiska uttrycket.

Lagarna för boolesk algebra presenteras som en uppsättning axiom och konsekvenser. Dessa kan kontrolleras helt enkelt genom att ersätta olika värden på variablerna.

Den tekniska analogen av alla logiska uttryck för en boolesk funktion är ett logiskt diagram... I detta fall är variablerna som en boolesk funktion beror på kopplade till de externa ingångarna på denna krets, värdet på en boolesk funktion bildas vid extern utgång från kretsen, och varje logisk operation i ett logiskt uttryck implementeras av ett logiskt element.

För varje uppsättning insignaler vid utgången av den logiska kretsen genereras således en signal som motsvarar värdet av en boolesk funktion för denna uppsättning variabler (vidare kommer vi att använda följande konvention: 0 — låg signalnivå , 1 — hög signalnivå).

När vi konstruerar logiska kretsar kommer vi att anta att variablerna matas till ingången i en parafaskod (det vill säga både direkta och inversa värden för variablerna är tillgängliga).

Tabell 1 visar de konventionella grafiska beteckningarna för vissa logiska element i enlighet med GOST 2.743-91, såväl som deras utländska motsvarigheter.

Förutom de element som utför de tre operationerna i boolesk algebra (AND, OR, NOT), i tab. 1 visar de element som utför operationer härledda från huvudet:

— OCH -INTE — negation av logisk multiplikation, även kallad Schaefer-rörelse (betecknad med |)

— ELLER -NOT — negation av logiskt komplement, även kallad Peirces pil (betecknad med ?)

Genom att seriekoppla logiska grindar tillsammans kan du implementera vilken boolesk funktion som helst.

Strukturformler som uttrycker reläkretsar i allmänhet, d.v.s. innehåller symboler för reagerande örnar, kan inte betraktas som funktioner av två värden som endast uttrycker sluten eller öppen krets. När man arbetar med sådana funktioner uppstår därför ett antal nya beroenden som går utöver gränserna för boolesk algebra.

I boolesk algebra finns det fyra par av grundlagar: två förskjutningar, två kombinatoriska, två distributiva och två juridiska inversioner. Dessa lagar fastställer likvärdigheten mellan olika uttryck, det vill säga de betraktar uttryck som kan ersätta varandra som utbyte av identiteter i vanlig algebra. Som en ekvivalenssymbol tar vi symbolen som är densamma som likhetssymbolen i vanlig algebra (=).

Giltigheten av lagarna för boolesk algebra för kontaktkretsar kommer att fastställas genom att beakta kretsar som motsvarar vänster och höger sida av ekvivalenta uttryck.

Reselagar

För att lägga till: x + y = y + x

Schemat som motsvarar dessa uttryck visas i fig. 1, a.

De vänstra och högra kretsarna är normalt öppna kretsar, som var och en stänger när ett av elementen (X eller Y) triggas, det vill säga dessa kretsar är ekvivalenta. För multiplikation: x ·y = y ·NS.

Schemat som motsvarar dessa uttryck visas i fig. 1b är deras ekvivalens också uppenbar.

Ris. 1

Lagar för kombination

För addition: (x + y) + z = x + (y + z)

För multiplikation: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Paren av ekvivalenta kretsar som motsvarar dessa uttryck visas i fig. 2, a, b

Ris. 2

Distributionslagar

Multiplikation kontra addition: (x + y) +z = x + (y + z)

Addition vs Multiplikation. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Schemat som motsvarar dessa uttryck visas i fig. 3, a, b.

Ris. 3.

Ekvivalensen av dessa scheman kan lätt verifieras genom att överväga olika kombinationer av kontaktaktivering.

Inversionslagar

Vid addition: NS + c = NS·c

Stapeln ovanför vänster sida av uttrycket är ett negationstecken eller inversionstecken. Detta tecken indikerar att hela funktionen har motsatt betydelse med avseende på uttrycket under negationstecknet. Det går inte att rita ett diagram som motsvarar hela den inversa funktionen, men man kan rita ett diagram som motsvarar uttrycket under negativt tecken. Således kan formeln illustreras med diagrammen som visas i fig. 4, a.

Ris. 4.

Det vänstra diagrammet motsvarar uttrycket x + y, och det högra mot NS ·c

Dessa två kretsar är motsatta varandra i drift, nämligen: om den vänstra kretsen med oexciterade element X, Y är en öppen krets, så är den högra kretsen sluten. Om i den vänstra kretsen, när ett av elementen utlöses, stänger kretsen, och i den högra kretsen, tvärtom, öppnas den.

Eftersom, enligt definitionen av negativt tecken, funktionen x + y är inversen av funktionen x + y, så är det uppenbart att x + y = NS·in.

Angående multiplikation: NS · c = NS + c

Motsvarande scheman visas i fig. 4, b.

Translokativ och kombination och lagar och den distributiva lagen för multiplikation med avseende på addition (motsvarar liknande lagar i vanlig algebra).Därför, vid transformation av strukturformler i ordningsföljd för addition och multiplikation av termer, placering av termer utanför parenteser och expansion av parenteser, kan du följa reglerna som fastställts för att arbeta med vanliga algebraiska uttryck. Den distributiva additionslagen med avseende på multiplikation och inversionslagarna är specifika för boolesk algebra.