Serie- och parallellkoppling av motstånd

Seriekoppling av motstånd

Ta tre konstanta motstånd R1, R2 och R3 och anslut dem till kretsen så att slutet av det första motståndet R1 var anslutet till början av det andra motståndet R2, slutet av det andra - till början av det tredje R3, och till början av det första motståndet och till slutet på det tredje tar vi bort ledningarna från strömkällan (Fig. 1).

Denna koppling av motstånd kallas en serie. Uppenbarligen kommer strömmen i en sådan krets att vara densamma i alla dess punkter.

Rice 1… Serieanslutning av motstånd

Hur bestämmer vi den totala resistansen för en krets om vi redan känner till alla resistanser kopplade till den i serie? Med hjälp av positionen att spänningen U vid terminalerna på strömkällan är lika med summan av spänningsfallen i kretssektionerna kan vi skriva:

U = U1 + U2 + U3

var

U1 = IR1 U2 = IR2 och U3 = IR3

eller

IR = IR1 + IR2 + IR3

Genom att utföra den högra sidan av likheten I inom parentes får vi IR = I (R1 + R2 + R3).

Nu dividerar vi båda sidor av likheten med I, slutligen får vi R = R1 + R2 + R3

Därmed kom vi fram till att när resistanserna är seriekopplade är hela kretsens totala resistans lika med summan av resistanserna för de enskilda sektionerna.

Låt oss verifiera denna slutsats med följande exempel. Ta tre konstanta motstånd vars värden är kända (t.ex. R1 == 10 ohm, R2 = 20 ohm och R3 = 50 ohm). Låt oss seriekoppla dem (Fig. 2) och ansluta till en strömkälla vars EMF är 60 V (strömkällans inre motstånd försummad).

Ris. 2. Exempel på seriekoppling av tre motstånd

Låt oss beräkna vilka avläsningar som ska ges av anslutna enheter som visas i diagrammet om vi stänger kretsen. Bestäm kretsens externa motstånd: R = 10 + 20 + 50 = 80 ohm.

Hitta strömmen i kretsen Ohms lag: 60/80= 0,75 A.

Genom att känna till strömmen i kretsen och motståndet i dess sektioner bestämmer vi spänningsfallet i varje sektion av kretsen U1 = 0,75x 10 = 7,5 V, U2 = 0,75 x 20 = 15 V, U3 = 0,75 x 50 = 37,5V .

Genom att känna till spänningsfallet i sektionerna bestämmer vi det totala spänningsfallet i den externa kretsen, det vill säga spänningen vid terminalerna på strömkällan U = 7,5 + 15 + 37,5 = 60 V.

Vi får på ett sådant sätt att U = 60 V, det vill säga den obefintliga likheten mellan strömkällans EMF och dess spänning. Detta förklaras av det faktum att vi har försummat det interna motståndet hos den nuvarande källan.

Efter att ha stängt K-tangenten kan vi övertyga oss själva från verktygen att våra beräkningar är ungefär korrekta.

Parallellkoppling av motstånd

Ta två konstanta motstånd R1 och R2 och koppla ihop dem så att ursprunget för dessa motstånd ingår i en gemensam punkt a och ändarna i en annan gemensam punkt b. Genom att sedan koppla ihop punkterna a och b med en strömkälla får vi en sluten elektrisk krets. Denna koppling av motstånd kallas en parallellkoppling.

Figur 3. Parallellkoppling av motstånd

Låt oss spåra strömflödet i denna krets. Från strömkällans positiva pol genom anslutningstråden kommer strömmen att nå punkt a. Vid punkt a förgrenas den, för här grenar själva kretsen i två separata grenar: den första grenen med motstånd R1 och den andra med motstånd R2. Låt oss beteckna strömmarna i dessa grenar med I1 respektive Az2. Var och en av dessa strömmar kommer att ta sin egen gren till punkt b. Vid denna punkt kommer strömmarna att smälta samman till en enda ström som når strömkällans negativa pol.

När resistanser är parallellkopplade erhålls således en grenkrets. Låt oss se vad som blir förhållandet mellan strömmarna i vår krets.

Anslut amperemetern mellan strömkällans positiva pol (+) och punkt a och notera dess avläsning. Genom att sedan ansluta amperemetern (visas i figuren med den prickade linjen) i anslutningstrådspunkten b med strömkällans negativa pol (-), noterar vi att enheten kommer att visa samma storlek på strömstyrkan.

Det betyder kretsström före dess förgrening (till punkt a) är lika med strömstyrkan efter förgrening av kretsen (efter punkt b).

Nu kommer vi att slå på amperemetern i tur och ordning i varje gren av kretsen och memorera enhetens avläsningar. Låt amperemetern visa strömmen i den första grenen I1 och i den andra - Az2.Genom att lägga till dessa två amperemeteravläsningar får vi en total ström som är lika stor som strömmen Iz före förgrening (till punkt a).

Därför är styrkan på strömmen som flyter till förgreningspunkten lika med summan av styrkorna hos de strömmar som flyter från den punkten. I = I1 + I2 Om vi ​​uttrycker detta med formeln får vi

Detta förhållande, som är av stor praktisk betydelse, kallas för grenkedjelagen.

Låt oss nu överväga vad som kommer att vara förhållandet mellan strömmarna i grenarna.

Låt oss koppla en voltmeter mellan punkterna a och b och se vad den visar. Först kommer voltmetern att visa spänningen för strömkällan när den är ansluten, som framgår av fig. 3direkt till strömkällans terminaler. För det andra kommer voltmetern att visa ett spänningsfall. U1 och U2 på motstånden R1 och R2 eftersom de är anslutna till början och slutet av varje motstånd.

Därför, när motstånd är parallellkopplade, är spänningen över strömkällans terminaler lika med spänningsfallet över varje motstånd.

Detta gör att vi kan skriva att U = U1 = U2,

där U är terminalspänningen för strömkällan; U1 — spänningsfall för motstånd R1, U2 — spänningsfall för motstånd R2. Kom ihåg att spänningsfallet över en sektion av en krets är numeriskt lika med produkten av strömmen som flyter genom den sektionen med sektionsmotståndet U = IR.

Därför kan du för varje gren skriva: U1 = I1R1 och U2 = I2R2, men eftersom U1 = U2, då I1R1 = I2R2.

Genom att tillämpa proportionsregeln på detta uttryck får vi I1 / I2 = U2 / U1, det vill säga strömmen i den första grenen kommer att vara lika många gånger mer (eller mindre) än strömmen i den andra grenen, hur många gånger motståndet av den första grenen är mindre (eller mer) än motståndet för den andra grenen.

Så vi har kommit till en viktig slutsats som är att med parallellkoppling av resistanser förgrenas den totala kretsströmmen till strömmar omvänt proportionell mot resistansvärdena för de parallella grenarna. Med andra ord, ju högre resistans grenen har, desto mindre ström kommer att flöda genom den och, omvänt, ju lägre resistans grenen har, desto större kommer strömmen att flöda genom grenen.

Låt oss kontrollera riktigheten av detta beroende i följande exempel. Låt oss sätta ihop en krets som består av två parallellkopplade motstånd R1 och R2 kopplade till en strömkälla. Låt R1 = 10 ohm, R2 = 20 ohm och U = 3 V.

Låt oss först beräkna vad amperemetern som är ansluten till varje gren kommer att visa oss:

I1 = U / R1 = 3/10 = 0,3 A = 300 mA

Az2 = U/R2 = 3/20 = 0,15 A = 150 mA

Total ström i kretsen I = I1 +I2 = 300 + 150 = 450 mA

Vår beräkning bekräftar att när resistanser är parallellkopplade, förgrenar sig strömmen i kretsen omvänt proportionellt mot resistanserna.

R1 == 10 ohm är verkligen hälften så stor som R2 = 20 ohm, medan I1 = 300mA två gånger I2 = 150mA. Total ström i kretsen I = 450 mA uppdelad i två delar, så att större delen av den (I1 = 300 mA) passerade genom det lägre motståndet (R1 = 10 Ohm) och den mindre delen (R2 = 150 mA) - genom ett större motstånd (R2 = 20 ohm).

Denna förgrening av ström till parallella grenar liknar vätskeflödet genom rör.Föreställ dig ett rör A som någon gång förgrenar sig till två rör B och C med olika diametrar (fig. 4). Eftersom diametern på rör B är större än diametern på rör C, kommer mer vatten att strömma genom rör B samtidigt än genom rör C, som har ett större motstånd mot vattenflöde.

Ris. 4... Mindre vatten kommer att passera genom ett tunt rör på samma tid än genom ett tjockt.

Låt oss nu överväga vad som blir det totala motståndet för en extern krets bestående av två parallellkopplade motstånd.

Med detta ska den externa kretsens totala resistans förstås som en sådan resistans som skulle kunna ersätta båda parallellkopplade resistanserna vid en given kretsspänning utan att ändra strömmen före förgrening. Detta motstånd kallas ekvivalent motstånd.

Låt oss återgå till kretsen som visas i fig. 3 och se vad den ekvivalenta resistansen för två parallellkopplade motstånd blir. Genom att tillämpa Ohms lag på denna krets kan vi skriva: I = U / R, där I är strömmen i den externa kretsen (upp till grenpunkten), U är spänningen för den externa kretsen, R är motståndet för den externa kretsen krets, det vill säga motsvarande resistans.

På liknande sätt, för varje gren I1 = U1 / R1, I2 = U2 / R2, där I1 och I2 — strömmar i grenarna; U1 och U2 är spänningen i grenarna; R1 och R2 — grenmotstånd.

Enligt grenkretslagen: I = I1 + I2

Genom att ersätta strömmarnas värden får vi U / R = U1 / R1 + U2 / R2

Eftersom med parallellkoppling U = U1 = U2 kan vi skriva U / R = U / R1 + U / R2

Genom att utföra U på höger sida av ekvationen utanför parentesen får vi U / R = U (1 / R1 + 1 / R2)

Om vi ​​nu dividerar båda sidor av likheten med U, har vi slutligen 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2

Att komma ihåg att ledningsförmåga är det ömsesidiga värdet av motstånd, kan vi säga att i den resulterande formeln 1 / R - ledningsförmågan hos den externa kretsen; 1 / R1 konduktiviteten hos den första grenen; 1 / R2- den andra grenens ledningsförmåga.

Baserat på denna formel drar vi slutsatsen: när de är parallellkopplade är konduktansen för den externa kretsen lika med summan av konduktanserna för de enskilda grenarna.

Därför, för att bestämma det ekvivalenta motståndet för de parallellkopplade motstånden, är det nödvändigt att bestämma kretsens ledningsförmåga och ta värdet mitt emot det.

Det följer också av formeln att kretskonduktansen är större än konduktansen för varje gren, vilket innebär att den externa kretsens ekvivalenta resistans är mindre än den minsta av de parallellkopplade motstånden.

Med tanke på fallet med parallellkoppling av motstånd tog vi den enklaste kretsen som består av två grenar. I praktiken kan det dock finnas fall där kretsen består av tre eller flera parallella grenar. Vad ska vi göra i dessa fall?

Det visar sig att alla erhållna anslutningar förblir giltiga för en krets som består av valfritt antal motstånd kopplade parallellt.

För att verifiera detta, överväg följande exempel.

Låt oss ta tre motstånd R1 = 10 Ohm, R2 = 20 Ohm och R3 = 60 Ohm och koppla dem parallellt. Bestäm motsvarande resistans för kretsen (fig. 5).

Ris. 5. Krets med tre parallellkopplade motstånd

Genom att tillämpa denna kretsformel 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2 kan vi skriva 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 och, genom att ersätta de kända värdena, får vi 1 / R= 1 / 10 + 1/20 + 1/60

Vi lägger till dessa fraktioner: 1 /R = 10/60 = 1/6, det vill säga kretsens ledningsförmåga är 1 / R = 1/6 Därför är ekvivalent motstånd R = 6 ohm.

Därför är det ekvivalenta motståndet mindre än det minsta av de parallellkopplade motstånden i kretsen, det mindre motståndet R1.

Låt oss nu se om detta motstånd verkligen är ekvivalent, det vill säga så att det kan ersätta motstånden på 10, 20 och 60 ohm kopplade parallellt utan att ändra strömstyrkan innan kretsen förgrenas.

Antag att spänningen på den externa kretsen, och därmed spänningen i motstånden R1, R2, R3 är lika med 12 V. Då blir styrkan på strömmarna i grenarna: I1 = U / R1 = 12/10 = 1,2 A. Az2 = U / R2 = 12 / 20 = 1,6 A. Az3 = U / R1 = 12 / 60 = 0,2 A

Vi får den totala strömmen i kretsen med formeln I = I1 + I2 + I3 =1,2 + 0,6 + 0,2 = 2 A.

Låt oss kontrollera, med hjälp av formeln för Ohms lag, om en ström på 2 A kommer att erhållas i kretsen om, istället för tre kända parallella resistanser, ett ekvivalent motstånd på 6 ohm ingår.

I = U/R= 12/6 = 2 A

Som du kan se är motståndet R = 6 Ohm vi hittade verkligen ekvivalent för denna krets.

Detta kan kontrolleras på mätare om du monterar en krets med de resistanser vi tagit, mäter strömmen i den yttre kretsen (innan förgrening), sedan byter ut de parallellkopplade resistanserna mot ett enda 6 Ohm motstånd och mäter strömmen igen.Avläsningen av amperemetern i båda fallen kommer att vara ungefär densamma.

I praktiken kan även parallellkopplingar förekomma, för vilka det är lättare att beräkna ekvivalentresistansen, det vill säga utan att först bestämma konduktanserna kan resistansen hittas omedelbart.

Till exempel, om två motstånd är parallellkopplade R1 och R2, kan formeln 1 / R= 1 / R1 + 1 / R2 omvandlas så här: 1 / R = (R2 + R1) / R1 R2 och lösa likhet i förhållande till R får vi R = R1 NS R2 / (R1 + R2), d.v.s. när två resistanser är parallellkopplade är kretsens ekvivalenta resistans lika med produkten av de parallellkopplade resistanserna dividerat med deras summa.