Nummersystem
Ett talsystem är en uppsättning regler för att representera tal med olika numeriska tecken. Nummersystem delas in i två typer: icke-positionella och positionella.
I positionsnummersystem beror värdet på varje siffra inte på den position den upptar, det vill säga på platsen den upptar i siffrorna. I det romerska siffersystemet finns det bara sju siffror: en (I), fem (V), tio (X), femtio (L), hundra (C), femhundra (D), tusen (M). Med dessa siffror (symboler) skrivs de återstående talen genom addition och subtraktion. Till exempel är IV beteckningen för siffran 4 (V — I), VI är siffran 6 (V + I), och så vidare. Siffran 666 skrivs i det romerska systemet enligt följande: DCLXVI.
Denna notation är mindre bekväm än den vi använder för närvarande. Här skrivs sex med en symbol (VI), sex tior med en annan (LX), sexhundra och tredje (DC). Det är mycket svårt att utföra aritmetiska operationer med tal skrivna i det romerska siffersystemet. En vanlig nackdel med icke-positionella system är också komplexiteten i att representera tillräckligt stora tal i dem för att resultera i extremt besvärlig notation.
Betrakta nu samma nummer 666 i positionsnummersystemet. I den betyder ett enskilt tecken 6 antalet ettor om det är på sista plats, antalet tior om det är på näst sista plats och antalet hundra om det är på tredje plats från slutet. Denna princip att skriva siffror kallas positionell (lokal). I en sådan inspelning får varje siffra ett numeriskt värde beroende inte bara på dess stil, utan också på var den står när numret skrivs.
I positionsnummersystemet kan vilket tal som helst representeras som A = +a1a2a3 … ann-1an representeras som en summa
där n — ändligt antal siffror i bilden av ett nummer, ii nummer i-go-siffra, d — talsystemets bas, i — kategorins ordningsnummer, dm-i — "vikt" för i-ro-kategorin . Siffror ai måste uppfylla olikheten 0 <= a <= (d — 1).
För decimalnotation är d = 10 och ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Eftersom tal som består av ettor och nollor kan uppfattas som decimala eller binära tal när de används tillsammans, indikeras vanligtvis talsystemets bas, till exempel (1100)2-binär, (1100)10-decimal.
I digitala datorer används andra system än decimala system i stor utsträckning: binära, oktala och hexadecimala.
Binärt system
För detta system är d = 2 och här är endast två siffror tillåtna, dvs ai = 0 eller 1.
Alla tal som uttrycks i det binära systemet representeras som summan av produkten av baskraften två gånger den binära siffran i den givna biten. Till exempel kan talet 101,01 skrivas så här: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, vilket motsvarar talet i decimalsystemet: 4 + 1 + 0,25 = 5,25.
I de flesta moderna digitala datorer används det binära talsystemet för att representera tal i en maskin och utföra aritmetiska operationer på dem.
Det binära talsystemet, jämfört med det decimala, gör det möjligt att förenkla kretsarna och kretsarna för den aritmetiska enheten och minnesenheten och att öka tillförlitligheten hos datorn. Siffran för varje bit av ett binärt tal representeras av "på / av"-tillstånden för sådana element som transistorer, dioder, som fungerar tillförlitligt i "på / av"-tillstånd. Nackdelarna med det binära systemet inkluderar behovet av att enligt ett speciellt program översätta de ursprungliga digitala data till det binära talsystemet och resultaten av beslutet till decimaler.
Oktalt talsystem
Detta system har basen d == 8. Tal används för att representera tal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Det oktala talsystemet används i datorn som ett hjälpmedel för att förbereda problem för lösning (i programmeringsprocessen), för att kontrollera en maskins funktion och vid felsökning av ett program. Detta system ger en kortare representation av talet än det binära systemet. Det oktala talsystemet låter dig helt enkelt byta till det binära systemet.
Hexadecimalt talsystem
Detta system har basen d = 16. 16 tecken används för att representera siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F och tecknen A … F representerar decimaltalen 10, 11, 12, 13, 14 och 15. Det hexadecimala talet (1D4F) 18 kommer att motsvara decimaltalet 7503 eftersom (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14+161 15 x 16O = (7503)10
Hexadecimal notation gör att binära tal kan skrivas mer kompakt än oktala. Den hittar applikationer i in- och utdataenheter och nummerordningsvisningsenheter på vissa datorer.
Binärt-decimalt talsystem
Representationen av tal i binärt-decimalsystem är som följer. Decimalnotationen för talet tas som grund, och sedan skrivs var och en av dess siffror (från 0 till 9) i form av ett fyrsiffrigt binärt tal som kallas en tetrad, det vill säga inte ett tecken används för att representera varje siffra i decimalsystemet, men fyra.
Till exempel skulle decimalen 647,59 motsvara BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.
Det binära decimala talsystemet används som ett mellanliggande talsystem och för att koda in- och utdatatal.
Regler för överföring av ett nummersystem till ett annat
Utbytet av information mellan datorenheter utförs huvudsakligen genom siffror representerade i det binära talsystemet. Däremot presenteras information för användaren i siffror i decimalsystemet, och kommandoadressering presenteras i det oktala systemet. Därav behovet av att överföra nummer från ett system till ett annat i processen att arbeta med en dator. För att göra detta, använd följande allmänna regel.
För att konvertera ett heltal från valfritt talsystem till ett annat, är det nödvändigt att successivt dividera detta tal med basen i det nya systemet tills kvoten inte är mindre än divisorn. Numret i det nya systemet måste skrivas i form av rester av division, med början med den sista, det vill säga från höger till vänster.
Låt oss till exempel konvertera decimalen 1987 till binär:
Decimaltalet 1987 i binärt format är 11111000011, d.v.s. (1987)10 = (11111000011)2
När du byter från valfritt system till decimal representeras talet som summan av basens potenser med motsvarande koefficienter, och sedan beräknas värdet på summan.
Låt oss till exempel konvertera oktalt tal 123 till decimaltal: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, d.v.s. (123)8 = (83)10
För att överföra bråkdelen av ett tal från vilket system som helst till ett annat är det nödvändigt att utföra successiv multiplikation av denna bråkdel och de resulterande bråkdelar av produkten baserat på det nya talsystemet. Bråkdelen av ett tal i det nya systemet bildas i form av hela delar av de resulterande produkterna, med början från den första. Multiplikationsprocessen fortsätter tills ett tal med en given precision beräknas.
Låt oss till exempel konvertera decimalbråket 0,65625 till det binära talsystemet:
Eftersom bråkdelen av den femte produkten endast består av nollor, är ytterligare multiplikation onödig. Detta innebär att den givna decimalen omvandlas till binär utan fel, d.v.s. (0,65625)10 = (0,10101)2.
Att konvertera från oktalt och hexadecimalt till binärt och vice versa är inte svårt. Detta beror på att deras baser (d — 8 och d — 16) motsvarar heltal av två (23 = 8 och 24 = 16).
För att konvertera oktala eller hexadecimala tal till binära, räcker det att ersätta vart och ett av deras tal med ett tre- respektive fyrsiffrigt binärt tal.
Låt oss till exempel översätta det oktala talet (571)8 och det hexadecimala talet (179)16 till det binära talsystemet.
I båda fallen får vi samma resultat, d.v.s. (571)8 = (179)16 = (101111001)2
För att konvertera ett tal från binär decimal till decimal, måste du ersätta varje tetrad av talet som representeras i binär decimal med en siffra representerad med decimal.
Låt oss till exempel skriva talet (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 i decimalnotation, dvs. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218 625)